《高等数学（二）A》教学大纲

Advanced Mathematics(2)A

课程编码：09A00030 学分：5.0 课程类别：专业基础课

计划学时：80 其中讲课：80 实验或实践：0 上机：0

适用专业：机械工程学院，土木建筑学院，物理科学与技术学院，信息科学与工程学院，资源与环境学院，自动化与电气工程学院。

推荐教材：同济大学数学系编，《高等数学》第七版（下册），高等教育出版社，2014年7月。

参考书目：

1、齐民友主编，高等数学（下册），高等教育出版社，2009年8月；

2、同济大学数学系编，高等数学习题全解指南（下册），第七版，高等教育出版社，2014年8月。

课程的教学目的与任务

高等数学（二）A是工科院校的一门极其重要的专业基础课。通过本课程的学习，能使学生获得多元函数微积分和无穷级数的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。同时强调分析问题和解决问题的实际能力。使学生在得到思维训练和提高数学素养的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，使学生掌握多元函数微分的计算及其应用。掌握二重积分、三重积分的概念、计算和应用；了解第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念并会计算这两类积分；掌握第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念并会计算这两类积分，掌握格林公式和高斯公式，了解斯托克斯公式；理解各类积分之间的关系。掌握常数项级数和幂级数的概念和计算，了解傅里叶级数。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）

第九章 多元函数微分法及其应用 建议学时：20

[教学目的与要求]了解点集、邻域、区域、多元函数等概念。理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。了解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

[教学重点与难点]偏导数、全微分的概念及其计算，多元函数求极值。

[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。

[授 课 内 容]

第一节 多元函数的基本概念

第二节 偏导数

第三节 全微分

第四节 多元复合函数的求导法则

第五节 隐函数的求导公式

第六节 多元函数微分学的几何应用

第七节 方向导数与梯度

第八节 多元函数的极值及其求法

第十章 重积分 建议学时：16

[教学目的与要求]理解二重积分、三重积分的概念，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。会用重积分计算一些几何量与物理量（体积、曲面面积、质量、质心、转动惯量、引力）。

[教学重点与难点]二重积分、三重积分的计算。

[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。

[授 课 内 容]

第一节 二重积分的概念与性质

第二节 二重积分的计算法

第三节 三重积分

第四节 重积分的应用

第十一章 曲线积分与曲面积分 建议学时：20

[教学目的与要求]理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；掌握计算两类曲线积分的方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，会用斯托克斯公式计算曲线积分。

[教学重点与难点]曲线积分和曲面积分的计算。

[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。

[授 课 内 容]

第一节 对弧长的曲线积分

第二节 对坐标的曲线积分

第三节 格林公式及其应用

第四节 对面积的曲面积分

第五节 对坐标的曲面积分

第六节 高斯公式

第七节 斯托克斯公式

第十二章 无穷级数 建议学时：24

[教学目的与要求]理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与p级数收敛与发散的条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握某些函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将函数展开为傅里叶级数、正弦级数或余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

[教学重点与难点]数项级数的收敛性判定，幂级数展开，求和函数及收敛域。

[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。

[授 课 内 容]

第一节 常数项级数的概念和性质

第二节 常数项级数的审敛法

第三节 幂级数

第四节 函数展开成幂级数

第七节 傅里叶级数

第八节 一般周期函数的傅里叶级数

撰稿人：杨殿武 审核人：王纪辉